级数

调和级数

调和级数的定义

调和级数是指这样一个数列：$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$$

调和级数的性质

$\gamma$是欧拉常数，其值为
$$\gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992\cdots$$
明显的, $S(n)$为第$n$个调和数。
已知
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \infty$$
欧拉推导过调和级数有限多项式和的表达式为 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \ln (n + 1) + \gamma$$
我们需要满足 $S(n) > k$,即满足 $$\ln (n + 1) + \gamma > k$$ 化简得 $$n > e^{k-\gamma} - 1$$

我们只需求满足上式的最小的n，所以$n=e^{k-\gamma} + 0.5(四舍五入)$，即模拟做法的复杂度为$O(e^{k-\gamma})$，而实际上，我们可以直接求出$n$的值，即$n = \left\lfloor e^{k-\gamma} \right\rfloor$，复杂度为$O(1)$。代码如下

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from cmath import exp
gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992
k = int(int(input()))

# exp(k-gamma) + 0.5 整数输出
print(int(exp(k-gamma).real + 0.5))

由所有正整数的倒数依次形成的级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty {\quad} => 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{n}+\cdots
$$

由所有正整数的倒数平方依次形成的级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\infty {\quad} => 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{n^2}+\cdots
$$

由所有正整数的倒数立方依次形成的级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\infty {\quad} => 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\frac{1}{n^3}+\cdots
$$

绝对收敛级数

$\boldsymbol{Absolute\quad Covergent\quad Series}$

定义

级数的每一项都取绝对值之后仍然收敛
$$\sum_{k=1}^{\infty} \left|a_k\right|$$

条件收敛级数

$\boldsymbol{Conditionally\quad Covergent\quad Series}$

定义

因为正负交错而收敛的级数
$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}a_k$$